1.2. Noţiuni despre fibra optică
Intr-o fibră optică se foloseşte fenomenul reflexiei totale pentru a ghida raza luminoasă. Acest ghidaj se obţine instalând un miez de sticla (indicele de refractie n1) inconjurat de un inve1iş de sticla (indice de refractie n2) unde n1> n2. Ana1izând expresia:
sinα0 = n2/n1
unde α0 este unghiul de incidentă, putem concluziona ca toate razele luminoase care nu deviaza mai mult de 900 - α0 faţă de axa fibrei vor fi ghidate prin sticla miezului (figura 1.2.). Injectând din exterior (aer, cu indice de refractie no = 1) o raza luminoasa in sticla miezului, unghiul de injecţie θ dintre raza luminoasä şi axa fibrei (θ) poate fi determinat ap1icând legea refractiei:
Unghiul de injecţie maximal se numeşte unghi de acceptanţă al fibrei optice; sinusul unghiului de acceptanţă este numit apertura numerică a fibrei optice notata cu AN:
AN =sin θmax
Această valoare este de o importanţă esentială pentru injecţia luminii in fibră.
Legile opticii permit descrierea reflexiei totale la suprafata de separaţie dintre miez - inveliş a fibrei optice pentru a efectua analiza mai detaliată a posibilităţilor de propagare ale luminii. In miezul fibrei, trebuie sä considerăm fenomenele opticii ondulatorii : aceasta devine necesar datorită diametrelor caracteristice ale miezurilor fibrelor cuprinse intre 10 şi 100 μm a luminii transportate, care este in jur de 1 μm.
Datorita acestui fapt nu pot fi explicate decât cu ajutorul teoriei opticii ondulatorii.
Superpoziţia a două sau mai multe unde şi combinarea lor intr-una singura este numită interferenţă. 0 manifestare tipică a interferentei a douä unde este ob~inut~ c~nd ele au aceea~i lungime de undă şi când există un defazaj constant intre ele. Astfel de unde se numesc unde coerente. Dacă intr-un punct din spaţiu, cele două unde difera prin faza br prin multiplul par at lungimii de undä X, atunci are loc o insumare a amplitudinilor. Pe de altă parte, in cazul unui defazaj egal cu un multiplu al jumätätii lungimii de undä (λ/2) are loc o scadere, iar in cazul a doua unde având aceeaşi amplitudine are loc o anulare locală a undelor.
Pentru transmisia pe fibre optice este necesar sa se gaseasca o sursä luminoasa cat mai coerenta. Prin urmare, lărgimea spectrala va trebui sä fie cat mai mica. Spre deosebire de LED - uri, dioda laser ofera datoritä unei emisii stimulate, o diferenţă de fazä constantä la o aceeaşi lungime de undä. Prin urmare, fenomenele de interferenţă apar in ghidul de unda, ceea ce poate fi constatat din faptul că lumina se propagä doar sub unghiuri bine precizate in miezul fibrei (adica propagarea are loc in directii in care undele luminoase sunt amplificate prin suprapunerea lor şi prezintä o interferenţă constructiva).
Undele luminoase capabile să se propage intr-o fibrä opticä sunt numite moduri (unde naturale), ce pot fi determinate matematic pm ecuatiibe lui Maxwell. Undele naturale oscileaza pe un singur plan şi ele sunt polarizate liniar. Denumirea lor este LPγμ cu cei doi indici modali γ şi μ, unde μ este indicele modal radial şi indică numărul de inele luminoase concentrice ale modului, iar valoarea este indicele modal azimutal şi indicä numärul de puncte luminoase pe inelul luminos concentric.
Dacă indicele de refractie n al unei fibre optice este considerat in functie de raza r, atunci vom vorbi despre profitul indicelui de refractie at fibrei. Astfel, descriem variatia radiala a indicelui de refractie incepând pe axa fibrei şi mergând spre exteriorul invelişului n = n(r). Propagarea modurilor in fibra opticä depinde de forma profilului indicelui de refractie. In practicä, suntem interesati sä consideräm profilele de indice definite prin legi exponenţiale, inţelegându-se prin aceasta profilele de indice de refractie pentru care variatia modalä a indicelui urmeaza o lege de forma:
,
pentru r < a în
miez
n2 (r) = n22 constant pentru r ≥ a in inveliş, unde n1 este indice de refractie pe axa fibrei (r = 0) şi A diferenta relativä de indice.
r — raza radială de la axa fibrei in m; r ε (0, a)
a — raza miezului fibrei, in m
g — puterea sau exponentul profilului
n2 indice de refractie al inve1işului.
Există următoarele cazuri excepţionale:
g = 1 profil triunghiular
g = 2 profil parabolic
g -> ∞ profil cu indice in treaptä (caz limita)
Doar pentru ultimul caz — pentru profilul cu indice in treaptä indicele de refracţie n(r) = n1 este constant in miez.
Pentru toate celelalte profile cu indice de refracţie in miez n(r) creşte proporţional de la valoarea n2 in inveliş, la valoarea n1 pe axa fibrei. Din acest motiv, aceste profile sunt denumite profile cu indice gradat. Aceasta denumire a fost special adoptatä pentru profilul parabolic (g = 2) deoarece aceste fibre optice au proprietăţi tehnice bune in ghidarea luminii. 0 altä valoare importanta, care descrie fibra optica este parametrul V, numit frecvenţă normată de tăiere. Ea depinde de raza a, de apertura numerica AN a sticlei miezului şi de lungimea de unda k. Parametrul V este adimensional.
,
K – numarul de unda
Pentru profilul cu
indice treaptă
(g
ŕ
∞)
număru1 de moduri
ghidate este aproximativ 
iar
pentru profilul cu indice gradat număru1 de moduri este aproximativ
.
0 fibră optică care ghidează mai multe moduri este numită fibră optică multimod. Dacă vrem sä reducem numărul de moduri, adică să reducem parametrul V, trebuie sa diminuăm fie diametrul miezului 2a, fie sa micşorăm apertura numerică sau să mărim lungimea de undă. Întrucât cantitatea de lumină care poate fi injectată în fibră depinde în mod substanţial de apertura numerică, aceasta trebuie să rămână atât de mare cât este posibil. Reducerea razei miezului a este limitată, deoarece manipularea şi tehnica conexiunilor devin din ce în ce mai dificile. Pe de altă parte, devine dificilă construcţia surselor şi detectoarelor pentru lungimi de undă mai mari şi în consecinţă o creştere substanţială a lui nu este posibilă.
Dacă pentru o fibră optică cu indice în treaptă (g ŕ ∞) parametrul devine mai mic decât constanta Vc∞= 2405, atunci un singur mod, modul fundamental LP01 se poate propaga. Numim o astfel de fibră optică fibră optică monomod. Valoarea 2405 este egală cu valoarea x a functiei Bessel Ju(x) pentru prima intersecţie a acestei funcţii cu abscisa. Aceste funcţii Bessel Ju(x) seamănă cu oscilaţia sinusoidală atenuată. Sunt funcţii tipice, descriind ghiduri de undă cilindrică-simetnice, ca de exemplu cabluri coaxiale, ghiduri dielectrice sau fibre optice.
Pentru un profil de indice, valoarea limită
Lungimea de undă λ calculată, căreia îi aparţine valoarea limită Vc este numită lungimea de undă de tăiere:
Pentru toate lungimile de undă ≥λc, doar un singur mod este în stare să se propage în miezul unei fibre. Ca urmare a polarizării luminii, modul fundamental şi modurile de ordin ridicat sunt constituite din două moduri care oscilează perpendicular unul în raport cu celălalt. Urmăirile acestor moduri polarizate nu sunt importante decât pentru aplicaţiile speciale ale fibrelor optice, acelea ce fac apel la fibrele optice care menţin polarizarea. Efectele cauzate separării în două moduri sunt în prezent nesemnificative pentru tehnica cablurilor optice şi pentru tehnologia transmisiunilor. Aceasta este ilustrată de
faptul că se vorbeşte despre fibre optice monomod, în ciuda prezenţei celor două moduri polarizate.
1.3. Profiluri de indice
Profilurile de indice ale fibrei optice sunt de trei feluri: profil cu indice în treaptă (salt), profil cu indice gradat şi profil multitreaptă. Pentru ca lumina să fie ghidată în sticla miezului unei fibre optice cu indice în treaptă trebuie ca la interfaţa miez - înveliş, indicele de refracţie n1 al sticlei miezului să fie uşor superior indicelui de refracţie al sticlei învelişului n2 (fig. 1.2).
Dacă indicele de refractie n1 al sticlei miezului este constant pe toată sectiunea transversală a miezului, vorbim de profil cu indice în treaptă, căci indicele de refracţie creşte la interfaţa înveliş - miez în formă de treaptă şi rămâne apoi constant. Dimensiunile tipice ale unei fibre multimod cu indice în treaptă sunt:
diametrul miezului (2a) 100 μm
diametrul invelişului (s) 140 μm
indicele de refracţie miez (n1) 1,48
indicele de refracţie inveliş (n2) 1,46
Pentru a obţine o fibră optică cu indice în treaptă şi cu pierderi mici ghidează doar modul fundamental în zona superioară lui 1200 nm, trebuie să se reducă doar diametrul câmpului de mod până la aproximativ 10 μm. 0 astfel de fibră optică cu indice în treaptă este numită fibră optică monomod. Profilul indicelui de refracţie şi traiectoria unei raze luminoase pentru o fibră optică monomod sunt prezentate în figura 2.2.
Printr-o fibră optică cu indice în treaptă multimod, modurile se propagă pe traiectorii mai mult sau mai puţin lungi şi ajung la capătul fibrei în timpi diferiţi. Această dispersie modală nedorită poate fi serios redusă variind indicele de refracţie în lungul razei miezului fibrei conform unei legi parabolice. Valoarea maximă n1 a indicelui de refracţie se găseşte pe axa fibrei şi este redusă gradat, pentru a atinge valoarea n2 în sticla invelişu1ui. Un astfel de profil cu indice gradat sau profil cu indice variind după o lege exponenţială cu un exponent de profil g = 2 este definit de:
;
r < a
în miez,
n2(r) = n22, r ≥ a în înveliş.
Un ghid de undă cu acest profil gradat este de asemenea numit fibră optică cu indice gradat.
Figura 2.2c arată traiectoriile undelor luminoase de ordin diferit şi profilul indicelui de refracţie cel al unei fibre cu indice gradat.
Razele luminoase urmăresc traiectorii curbilinii de formă ondulată sau elicoidală invers de ceea ce se întâmplă în profilele cu indice în treaptă, unde ele se propagă în zig-zag. Ca urmare a schimbării continue a indicelui de refractie n(r) în sticla miezului, razele sunt fără încetare reflectate şi direcţia lor de propagare se schimbă; ele se propagă pe traiectorii ondulatorii. Razele oscilând în jurul axei fibrei optice au totdeauna de parcurs traiectorii mai lungi decât raza, care se propagă în jurul axei, dar ca urmare a diminuării indicelui de refracţie dincolo de axă ele se propagă cu viteze mai ridicate şi există în acest fel, compensarea timpilor de întârziere. Profilul indicelui de refracţie al unei fibre monomod obişnuită, este un profil cu indice în treaptă. Cu o diferenţă relativă de indice Δ . Pentru acest profil simplu, suma dintre dispersia materialului şi dispersia ghidului de undă este egală cu zero pentru o lungime de undă λ ≈ 1300 nm. Dacă vrem să deplasăm acest punct de zero al dispersiei, către alte lungimi de undă, trebuie schimbată dispersia ghidului de undă şi, în consecinţă schimbată structura profilului. Aceasta ne conduce la profile segmentate (multitreapta) sau cu multiple trepte de indice. Cu ajutorul acestor profiluri este posibil să se fabrice fibre optice în care dispersia nulă să fie decalată spre 1550 nm (fibre optice cu dispersie decalată), sau care au valorile de dispersie foarte slabe în gama de unde de 1300 şi 1550 nm (fibre optice cu dispersie compensată sau aplatizată). Aceste fibre optice monomod pot fi realizate cu structuri de profil diferit.
În cele ce urmează se prezintă o alegere a diferitelor profile:
Fig. 1.3 Structuri de
profil de fibre optice
a) fără decalaj al dispersiei;
b)cu decalaj de dispersie;
c) cu aplatizarea dispersiei.
CAPITOLUL al II-lea
0 fibră optică este un ghid de undă dielectric de formă cilindrică realizat din materiale cu pierderi mici, cum ar fi sticla siliconică. Fibra are un miez central care ghidează lumina, învelit cu un înveliş cu indice de refracţie mic (figura 2.1). Razele de undă incidente pe suprafata dintre miez şi inveliş, la unghiuri mai mari decât unghiul critic, trec printr-o reflecţie interna totală şi sunt ghidate prin miez fără refractie. Razele ce cad la inclinaţii mari faţă de axa fibrei işi pierd o parte din putere in inveliş la fiecare reflecţie şi nu sunt ghidate.
Ca rezultat al tehnologiei avansate de fabricare, lumina poate fi ghidată printr-un kilometru de fibră cu o pierdere de ordinul 0,16 dB (3.6 %). Fibrele optice cu un cablu coaxial din cupru sunt preferate ca mediu de transmisie pentru undele electromagnetice, revolutionând comunicaţiile terestre. Scara aplicatiilor pentru telefonia la distante lungi şi comunicaţiile de date intr-un LAN au luat o mare amploare.
În acest capitol mă voi referi la principiile transmisiei luminii in fibra optică. Aceste principii sunt in esenţă aceleaşi ca cele din ghidul de undă planar dielectric, cu exceptia geometriei cilindrului. In ambele tipuri de ghid de undă, lumina se propagă sub forma modurilor. Fiecare mod merge de-a lungul axei ghidului de undă cu o constanta de propagare distinctă şi viteză de grup păstrându-i polarizarea şi distribuţia spaţiala transversală. In ghidurile de undă planare fiecare mod este rezultatul multiplelor reflecţii ale undelor TEM, sărind in placă in directia razei de undă la un unghi sigur de salt. Această aproximaţie se aplică ghidurilor de undă dielectrice. Când diametrul miezului este mic, numai un singur mod este permis, iar atunci fibra se numeşte fibră monomod. Fibrele cu diametrul miezului mare se numesc fibre monomod.
Una dintre dificultăţile asociate propagării luminii în fibrele monomod apare din diferenţa dintre vitezele de grup şi moduri. Aceste rezultate, într-o varietate a timpului de parcurs apar când frecvenţa impulsului luminos se modifică într-o fibră. Acest efect, numit dispersie modală, limitează viteza la care pulsul adiacent poate fi trimis fără suprapunere şi totodată viteza la care poate opera sistemul de comunicaţie prin fibre optice.
Dispersia modală poate reduce gradat indicele de refracţie al miezului fibrei de la o valoare maximă centrală la o valoare minimă la graniţa dintre miez şi îmveliş. Această fibră este denumită fibră cu indice gradat, pe când fibrele convenţionale cu indice de refracţie constant al miezului şi al invelişului se numesc fibre cu salt de indice.
Fig.2.1 O fibră optică este un ghid de undă dielectric de formă cilindrică
În acest fel de fibre, viteza creşte cu distanţa de la axul miezului (când indicele de refracţie descreşte). Totodată, razele cu o inclinaţie mai mare faţă de axa fibrei trebuie să treacă mai departe, mai repede, încât timpul de parcurs al diferitelor raze este egalizat. Fibrele optice sunt clasificate: cu salt de indice sau cu indice gradat şi multimod sau monomod, cum este ilustrat în figura 2.2.
2.1. Fibre cu salt de indice
0 astfel de fibră este un ghid de undă dielectric cilindric specificat prin indicii de refracţie ai miezului şi ai invelişului, n1 şi n2 şi de razele a şi b (vezi figura2.1). Exemple de diametre de miez şi inveliş standard 2a/2b sunt 8/125; 50/125; 62,5/125; 85/125; 100/140 μm.
Fig.2.2 Geometria, profilul indicelui de refracţie şi raze tipice în:
(a) o fibră cu salt de indice multimod;
(b) o fibră cu salt de indice monomod;
(c) o fibră cu indice gradat multimod.
Indicele de refracţie diferă uşor, variaţia indicelui de refracţie
este mica (Δ mult mai mic decât 1). Aproape toate fibrele utilizate în sistemele de comunicaţii optice sunt făcute din Si02 topit de puritate chimică înaltă. Micile variaţii ale indicelui de refracţie se fac prin adăugarea de materiale de dopare cu mică concentraţie (titaniu , germaniu. sau bor). Indicele de refracţie n1 este în scara 1,44 ….. 1,46 dependentă de tungimea de undă şi Δ este în plaja de valori 0,001 şi 0,02.
2.1.1. Raze ghidate
O rază optică este ghidată prin reflecţii interne totale în miezul fibrei, dacă unghiul de incidenţă la graniţă miez - inveliş este mai mare decât unghiul critic θc=sin-1(n2/n1) şi rămâne neschimbat.
2.1.1.1. Raze meridionale
Condiţia de ghidare este simplă de văzut pentru razele meridionale (raze în plane trecând prin axa fibrei), cum este ilustrată în figura 2.3. Aceste raze intersectează axa fibrei şi se reflectă în ace1aşi plan fără să-şi schimbe unghiul de incidenţă, ca şi cum ar fi într-un ghid de undă planar. Razele meridionale sunt ghidate dacă unghiul făcut cu axa fibrei este mai mic decât complementul unghiului critic
Când n1 = n2, θc este mic de regulă şi razele ghidate sunt
aproximativ paralele.
Fig.2.3 Raza este ghidată dacă este θ < θc = cos-1(n2/n1)
2.1.1.2. Raze oarecare
O rază arbitrară este identificată prin planul de incidenţă, un plan paralel cu axa fibrei şi trecând prin raza, de unghiul făcut cu axa, ilustraţia figurii 2.4.
Planul de incidenţă intersectează suprafaţa cilindrică de separare dintre miez şi inveliş la un unghi Φ cu normala la suprafaţă şi aflat la distanţa R faţă de axa fibrei. Raza este identificată prin unghiul θ făcut cu axa fibrei şi prin unghiul Φ al planului. Când Φ≠0 (R ≠ 0) raza este oarecare. Pentru raze meridionale Φ = 0 şi R = 0.
O rază de acest fel se reflectă repetat în plane care fac acelaşi unghi cu marginea de separare dintre miez şi inveliş şi urmează o traiectorie helicoidală limitată inăuntrul cercului cu raza R şi al razei a, cum este ilustrat în figura 2.4.
Proiecţia traiectoriei pe planul transversal x-y este un poligon regulat, nu neapărat închis. Condiţia ca o rază oarecare să nu aibă reflecţie totală internă este ca unghiul θ cu axa z să fie mai mic decât Φ.
Fig.2.4 Raza este identificată prin unghiurile θ şi Φ. Are o traiectorie helicoidală limitată într-un cilindru cu razele R şi a. Proiecţia razei pe un plan transversal este un poligon regulat, nu neapărat închis.
2.1.1.3. Apertura numerică
O rază incidentă care vine spre fibră devine o rază ghidată, dacă refracţia în miez face un unghi θ cu axa fibrei mai mic decât θc. Aplicând legea lui Snell la suprafaţa de separare dintre miez şi înveliş, unghiul θa în aer corespunzător lui θc în miez este dată de relatia 1:
sin θa = n1θc (vezi figura 2.5)
şi
unde 
Unghiul θa este unghiul de acceptanţă al fibrei.
Apertura numerică determină conul razei externe care este ghidat prin fibră. Razele incidente la unghiuri mai mari decât θa se reflectă în fibră, dar sunt ghidate numai pentru scurtă distanţă. Apertura numerică descrie capacitatea de întrunire a luminii în fibră.
Când raza ghidată vine de la capătul celălalt al fibrei, se reflectă în conul unghiului θa.
Fig 2.5
(a) Unghiul de acceptaţă al fibrei. NA = sin θa .
a
(b) Unghiurile θa şi θc sunt mici, exagerate în figură
pentru claritate.
2.1.2. Unde ghidate
În această parte voi analiza lumina monocromatică în fibra cu salt de indice, utilizând teoria electromagnetică. Presupun că determinarea câmpurilor electromagnetice ale ghidului de undă ce satisfac ecuaţiile lui Maxwell şi condiţia de frontieră este impusă de miezul electric şi învelişul dielectric cilindric. Ca în toate ghidurile de undă, sunt soluţii speciale sigure, numite moduri, fiecare având o constantă, o distribuţie de câmp caracteristică în planul transversal şi două independente stări de polarizare.
2.1.2.1. Distribuţia spaţială
Fiecare dintre componentele câmpurilor electrice şi magnetice trebuie să satisfacă ecuaţia Helmholtz,
Δ2U + n2 k02 U = 0,
unde n = n1 în miez (r < a) şi n = n2 în înveliş (R > a) şi k0 = 2 Π/λ0. Presupun că raza b a învelişului este suficient de mare, încât poate fi sigur presupusă înfinit în timpul analizei ghidului de lumină în miez şi lângă frontiera miez şi înveliş. Într-un sistem de coordonate cilindrice (vezi figura 2.6), ecuaţia Helmholtz este:
,
(4)
unde amplitudinea complexă U = U(r, φ, z) reprezintă oricare dintre componentele carteziene ale câmpurilor electric sau magnetic, sau componentele axiale Ez şi Hz în coordonate cilindrice.
Fig. 2.6 Sisteme de coordonate cilindrice
Suntem interesaţi de soluţia care ia forma undei ce traversează în direcţia z cu o propagare constantă β, încât dependenţa de z a lui U este de forma e-jBz. Când U este funcţie periodică a unghiului Φ cu perioada 2Π, presupun că dependenţa de Φ este armonică, e-jlΦ, unde 1 este întreg. Substituind
l
= 0, ±1, ±2, … (5)
în formula (4), se obţine o ecuaţie ordinară pentru u(r)
Unda este ghidată dacă constanta de propagare este mai mică decât numărul de undă în miez ( β < n1k0) şi mai mare decât numărul de undă în înveliş (β > n2k0). Este convenabil a defini:
KT2 = n1k02 – β2 (7a)
si
γ = β2 – n1k02
(7b)
ghidurile de undă kT2 şi γ2 sunt pozitive şi kT şi γ sunt reale.
Ecuaţia (6) poate fi scrisă în miez şi înveliş separat:
r
< a (miez) (8a)
r
> a (înveliş)
(8b)
Ecuatiile (8) sunt binecunoscutele ecuaţii diferenţiale ale căror soluţii sunt în familia de funcţii Bessel. Excluzând funcţia care aproximează la infinit, la r = 0 în miez, sau la r ŕ ∞ în înve1iş, se obţine soluţia:
(9)
unde J1(x) este funcţia Bessel de prima speţă şi ordin 1 şi K1(x) este funcţia Bessel modificată de ordinul 2 şi de speţa a doua. Functia J1(x) oscilează între funcţiile sin şi cos cu decalaj de amplitudine.
Fig. 2.7 Exemple de distribuţie radială u(r), date de (9) pentru
(a) l = 0; (b) l = 3.
Aria haşurată reprezintă miezul fibrei, iar aria nehaşurată înve1işu1. Parametrii kT şi γ şi două constante de proporţiona1itate din (9) se aleg astfel încât u(r) este continuă şi are o derivată continuă la r = a.
Între aceleaşi limite, K1(x) decade cu creşterea lui x, cu rata exponenţială,
x
>> 1 (10b)
Două exemple ale distribuţiei radiale u(r) sunt arătate în figura 7.
Doi parametri kT şi γ determină variaţia lui u(r) în miez şi înve1iş, respectiv o valoare mare a lui kT oscilaţii mai rapide a distribuţiei radiale în miez. O valoare mai mare a lui γ înseamnă o decădere mai rapidă şi o penetraţie mai mică a undei în înve1iş. Aşa cum se poate vedea din formula (7) suma pătratelor lui kT şi γ este constantă :
KT + γ2 = (n12 – n22) k02 = NA2k02, (11)
deci kT creşte, γ descreşte şi câmpul penetrează mai adânc în înveliş. Dacă kT depăşeşte NA k0 devine imaginar, încetează a se limita în miez.
2.1.2.2. Parametrul V
S-a convenit a se normaliza kT şi γ prin definirea:
X
= kT • a, Y=a •
γ (12)
Cu formula (11) se obţine:
X2 +
Y2 = V2
, (13)
unde V=NA • k0 • a, de unde :
V este un important parametru ce controlează numărul de moduri ale fibrei şi constantele de propagare. El se numeşte parametrul fibrei sau parametrul V. Este important a reaminti că pentru ca unda să fie ghidată, X trebuie să fie mai mic decât V.
2.1.2.3. Moduri
Consider condiţiile de frontieră. Încep prin scrierea componentelor axiale ale câmpului electric şi magnetic, amplitudinile complexe EZ şi HZ în formula (5). Iar condiţia ca aceste componente să fie continue la frontiera miez - înve1iş r = a stabileşte o relaţie, coeficienţii de proporţiona1itate în formula (9), având numai o necunoscută pentru EZ şi una pentru HZ. Cu ajutorul ecuatiilor Maxwell,
şi
cele patru componente EΦ, HΦ, Er şi H sunt determinaţi în termenii conţinând EZ şi HZ. Continuitatea lui EΦ şi HΦ la r = a oferă două ecuaţii. O ecuaţie conţine doi coeficienţi de proporţionalitate necunosciţi în EZ şi HZ, cealaltă ecuaţie oferă o condiţie care satisface constanta de propagare B. Această condiţie - ecuaţia caracteristică sau relaţia de dispersie - este o ecuaţie pentru β cu ratia a/λ0 fibrele cu indicii n1 şi n2 ca parametri cunoscuţi.
Pentru fiecare indice azimutal l, ecuaţia caracteristică are multiple soluţii dând constantele de propagare discrete, βlm, m = 1, 2,..., fiecare soluţie reprezentând un mod. Valorile corespunzătoare ale lui kT şi γ, care determină distribuţia spatială în miez, respectiv în înveliş, sunt determinate prin formula (7) şi sunt notate kTlm şi γlm . Un mod este descris prin indicii l şi m, caracterizând distribuţiile azimutală şi radială, respectiv. Funcţia u(r) depinde atât de l cât şi de m; l = 0 corespunde razelor meridionale. Există două configuraţii independente ale vectorilor E şi H pentru fiecare mod, corespunzătoare a două stări de polarizare. Clasificarea şi etichetarea acestor configuraţii este în general inclusă în cărţile de specialitate.
Ecuaţiile caracteristice pentru fibrele cu ghidaj slab
Aproape toate tipurile de fibre prezintă un ghidaj slab (ex. n1 = n2) (Δ << 1), încât razele ghidate sunt paralele cu axa fibrei. Componentele longitudinale ale câmpurilor electrice sau magnetice sunt mai slabe decât componentele transversale şi undele ghidate sunt aproximativ transversale electromagnetic (TEM). Polarizarea lineară în direcţiile x sau y formează stări de polarizare ortogonale. Modul (l, m) polarizat linear este uzual notat cu LPlm. Cele două polarizări ale modului (l, m) se propagă cu aceeaşi constantă de propagare şi au aceeaşi distribuţie spaţială.
Pentru fibrele cu ghidaj slab, ecuaţia caracteristică obţinută folosind formula de excludere prematură din linie devine aproximativ echivalentă cu condiţia în care funcţia scalară u(r) în formula (9), este continuă şi are o derivată continuă la r = a. Aceste două condiţii sunt satisfacute dacă :
(15)
Derivatele J1’ şi K1’ ale funcţiilor Bessel satisfac identităţile :
Substituind aceste identităţi în (15) şi folosind parametrul normalizat X = Kta şi Y = γ a se obţine ecuaţia caracteristică :
X2 + Y2 = V2
Oferind V şi l, ecuaţia caracteristică conţine o singură necunoscută, variabila X. Notând
J-1(x) = (-1)l Jl(x) şi K-1(x) = Kl(x)
dacă l este înlocuit cu -l, ecuaţia rămâne neschimbată.
Ecuaţia caracteristică se rezolvă grafic mergând la dreapta şi la stânga lui X şi găsind intersecţiile. Aşa cum este ilustrat în figura (8), pentru l = 0, spre stânga are multiple ramuri, iar spre dreapta “cade” monoton cu creşterea lui X până ajunge la valoarea X = V (Y = 0). Avem mai multe intersecţii în intervalul (0, V). Fiecare punct de intersecţie corespunde unui mod al fibrei cu o valoare distinctă a lui X. Aceste valori sunt notate X1m, m = 1, 2, …, M1 în ordinea creşterii lui X. O dată X1m găsit, constanta de propagare transversală corespunzatoare KT1m, parametrii de cădere γ1m, constanta de propagare β1m şi funcţia de distribuţie radială u1m(r) pot fi deja determinaţi prin folosirea formulelor (12), (7), (9). Fiecare nod are o distribuţie radială distinctă. Distribuţia radială din figura (7), de exemplu, corespunzatoare modului LP01 (l =0, m=1), într-o fibră cu V=5; şi modul LP34 într-o fibră cu V = 25 . Când modurile (1, m) (-1, m) au aceeaşi constantă de propagare este interesant de a analiza distribuţiile spaţiale ale superpoziţiilor. Amplitudinea complexă a sumei este proporţională cu u1m(r)cos lΦ exp(-j1 βlm z). Intensitatea pentru
modurile LP01 şi LP34, care este proporţională cu ulm2(r) cos2 lΦ, este ilustrată în figura 2.9, aceleaşi moduri pentru care l-am ilustrat pe u(r) în figura 2.7.
Fig. 2.9 Distribuţia intensităţii
(a) modului LP01 şi (b) modului LP34
în planul transversal, prezentând dependenţa cos lΦ azimutală. Modul fundamental LP01 are o distribuţie similară cu cea gaussiană.
Modul de tăiere şi numărul de moduri
Din construcţia grafică din figura 2.8, este evident că dacă V creşte, numărul de intersecţii (moduri) creşte, când partea stângă a ecuaţiei caracteristice (16) este independentă de V, pe câtă vreme partea dreaptă se mută la dreapta cu creşterea lui V. Considerând semnul minus am ecuaţia caracteristică, ramurile din partea stângă intersectează abscisa când Jl-1(x) = 0. Aceste rădăcini sunt notate cu xlm,
m = 1, 2, ... . Numărul de moduri este egal cu numărul de rădăcini al ecuaţiei Jl-1(x), care este mai mic decât V. Modul (1, m) este permis dacă V > xlm. Modul ajunge la punctul de tăiere dacă V = xlm. Dacă V descreşte rapid, rnodul (1, m-1) ajunge la punctul de tăiere, când o nouă radăcina este atinsă, ş.a.m.d. Cea mai mică rădăcină a ecuaţiei Jl-1(x) este x01 = 0 pentru l = 0, iar urmatoarea cea mai mica este xl1 = 2,405 pentru l = 1. Când V <2,405 toate modurile cu exceptia modului fundamental LP01 sunt la tăiere. Fibra operează ca un ghid de undă monomod. 0 parte din numărul de moduri M1 ca funcţie de V este totodată o functie crescătoare de tip scară, crescând cu o unitate la fiecare rădăcină a functiei Bessel Jl-1(x). Unele dintre aceste radacini sunt scrise in tabelul 1 :
Parametrul de tăiere V pentru modurile LP0m şi LP1m
Fig. 2.10 Numărul total de moduri M în functie de parametrul V = 2Π(a/λ) NA. Se presupun două polarităţi pentru fiecare mod cu l > 0 şi două polarizări pentru un mod.
O evidenţă a numărului total de moduri M (pentru toţi l) este arătată în figura 2.10. Este o funcţie treaptă (scară), cu salturi la rădăcinile lui Jl-1(x). Fiecare radacină trebuie numarata de două ori Când pentru fiecare mod cu indicele azimutal l > 0 există un mod corespunzator -l identic, exceptie pentru o polaritate inversă a unghiului Φ (corespunzător razelor cu traiectorie helicoidală în sens opus), aşa cum se observă punând semnul plus în ecuaţia caracteristică. Deci, fiecare mod are două stari de polarizare trebuind numărat de două ori.
Numărul de moduri (Fibre cu parametrul V mare)
Pentru fibre cu parametrul V mare există un număr mare de rădăcini ale ecuatiei Jl (x) în intervalul 0,V. Când Jl este aproximat de o funcţie sinusoidală ca în formula (10, a) când X >> 1, rădăcinile xlm sunt date cu aproximaţie de xlm(1 + 1/2)(π/2) = (2m – 1)(π/2), încât punctele de tăiere al modului (1, m), care are radacinile lui Jl ± 1(x), sunt:
l = 0, 1, ..., n, când n este mare.
Pentru 1 fixat, sunt la o distanţă uniformă de π, deci număru1 de rădăcini M1 satisface
(1+2M1)π/2=V, de unde M1 = V/π-1/2.
Când M “cade” linear cu creşterea lui l, începând cu M1 = 2V/π, cum este ilustrat în figura 2.11. Numărul total de moduri este:
Când numărul de termeni din această suma este mare, poate fi evaluat printr-o aproximaţie cu aria triunghiului din figura2.11,
Permiţând două grade de libertate pentru l pozitiv şi negativ şi două polarizări pentru fiecare indice (l, m), obţinem :
(numărul
moduri)
Această expresie pentru M este analog pentru ghidul de undă rectangular. Acest număr aproximat este comparat cu numărul exact obtinut din ecuatia caracteristică în figura 2.10.
Fig. 2.11 Indicii modurilor de ghidare extinşi de la m = 1 la m = V/π -1/2 şi de la l=0 la ≈2V/π
2.1.2.4. Constante de propagare (fibre cu parametrul V mare)
Constantele de propagare pot fi determinate prin rezolvarea ecuatiei (16) pentru xlm şi folosind (7a) şi (12) pentru a obtine:
Un număr de formule aproximate pentru Xlm aplicate in limite sigure este disponibil in literatură, dar formulele explicite nu sunt exacte.
Când V >> 1, , aproximaţia cea mai dură este a presupune ca ramurile din figura 2.8 sunt aproape linii verticale, deci Xlm = xlm. Când V >> 1, majoritatea rădăcinilor vor fi mai mari şi aproximaţia din (17) poate fi utilizată pentru a obţine:
Când:
formulele (19) şi (20) dau:
Pentru că Δ este mai mic aproximăm (1+δ)1/2 = 1 + δ/2 pentru |δ| <<1 şi obţin :
(constante de propagare
l=0,1,..., ;
m= 1, 2,... ,
;
(V>>1)
Când 1 + 2m variază între 2 şi 2V/π = (vezi figura 2.11), βlm variază între n1k0 şi n1k0(1 - Δ) = n2k0, cum este ilustrat îm figura 2.12.
Constante de propagare
Viteze de grup (Fibre cu parametrul V mare)
Pentru a determina
viteza de grup,
,
al modului (1, m),
exprimăm βlm
ca o funcţie
explieită de
ω prin
substittflia n1k0 = ω/c1 şi
în
formula (22) şi presupunem că c1 şi Δ sunt independente de ω.
Derivata
dă:
Când Δ << 1, expresia aproximată (1 +δ)-1 = 1 - δ, când |δ| << 1 , dă :
Pentru că valorile minimă şi maximă a lui (1 + 2m) sunt 2,
respectiv M1/2 şi când M >> 1, viteza de grup variază aproximativ intre c1 şi c1(1 - Δ) = c2(n2/n1). Dacă vitezele de grup ale modurilor de ordin mici sunt aproximativ egale cu viteza de fază a miezului, şi modurile de ordin mari sunt mici.
Viteza de grup fractională se schimba între modurile cel mai rapid şi cel mai incet şi este aproximativ egala cu A, indicele de refractie fracţional, modificând proprietăţile fibrei.
Fibrele cu Δ mare au o apertură numerică mare şi o capacitate de absorţie a luminii mare, au totodata un număr mare de moduri, dispersie modală mare, şi rata frecvenţei de împrăştiere continuă.
Fig. 2.12 (a) Aproximarea constantei de propagare βlm a modurilor unei fibre cu parametrul V mare în funcţie de indicii de mod 1 şi m.
(b) Constanta de propagare β01 a modului fundamental LP01 funcţie de parametrul V.
O fibră cu raza miezului a şi apertura numerică NA operează ca o fibră monomod, în modul fundamental LP01 dacă V = 2π(a/λ0)NA mai mic decât 2,405. Operaţia monomod este obtinuta prin utilizarea unui diametru mic al miezului şi o apertură numerică mică, sau lucrând la lungimi de undă suficient de lungi. Modul fundamental este o distnbuţie spaţială în forma de clopot similară distributiei gaussiene. Constanta de propagare β depinde de V aşa cum este ilustrat in figura 2. 12.b. Acest mod demonstreaza înalta limită la care poate ajunge puterea luminii în miez.
Sunt numeroase avantaje în utilizarea fibrelor monomod in sistemele de comunicatii optice. Modurile unei fibre multimod se propaga la diferite viteze de grup şi la diferite intârzieri de timp incât un impuls de scurtă durată este intârziat prin multe “cocoaşe” şi prin impraştierea in timp. Măsurarea cantitativa a dispersiei modale este determinata in sectiunea 3. Într-o fibra monomod există un singur mod cu o viteza de grup, incât un impuls scurt ajunge fără distorsiuni de intârziere. Celelalte efecte ale dispersiei rezultă in diferite frecvente in fibrele monomod, dar acestea sunt semnificativ mai mici decât dispersia modală.
Aşa cum voi arata in sectiunea 3, rata atenuării de putere este mai mica in fibrele monomod, decât in cele multimod. Aceasta, impreunä cu rata de imprăştiere a pulsului mica, permite o rată de transmisie a datelor mai mare substanţial in fibrele monomod in comparaţie cu rata maxima fezabilă in fibrele multimod.
Altă dificultate in legătură cu fibrele multimod este cauzata de interferente necontrolabile, fluctuatiilor de temperatura, fiecare mod îşi modifică faza aleator, incât suma amplitudinilor complexe a modurilor are o intensitate aleatoare. Această variatie aleatoare este o formă de zgomot, cunoscută ca zgomot modal. Acest efect este similar cu a reduce semnalele radio printr-o transmisiune multiplex. Într-o fibră monomod este o singurpă cale şi nu există zgomot modal.
Din cauza mărimii mici şi a aperturii numerice mici sunt mai compatibile cu tehnologie optică integrată. Oricum, asemenea trăsături fac mai dificilă fabricarea lor, din cauza reducerii permise a tolerantelor mecanice pentru jonctiuni, pentru conectori demontabili şi pentru puterea optica de cuplare în fibră.
Fig. 2.13 (a) Fibre ideale de menţinere a polarizării
(b) Transfer aleator de putere între două polarizări.
Fibre ce îşi păstrează polarizarea
Într-o fibră cu sectiune circulară, fiecare mod are două stări de polarizare independente cu aceeaşi constantă de propagare. Modul fundamental LP01 într-o fibră monomodă cu ghidaj slab poate fi polarizată în direcţia x sau y cu două polarizări ortogonale, având aceeaşi constantă de propagare şi aceeaşi viteză de grup.
În principiu, nu este un schimb de putere între două polarizări. Dacă puterea sursei de lumină este furnizată numai de o polarizare, puterea recepţionată rămâne în aceeaşi stare de polarizare. Imperfecţiunile aleatoare neimnportante sau întinderile incontrolabile in fibră rezultă in puterea transferată aleatoare intre două polarizări. Cuplajul este facilitat când două polarizări au aceeaşi constantă de propagare şi fazele lor sunt constante. Lumina polarizată liniar la capătul de intrare al fibrei este transformată în lumină polarizată eliptic la ieşirea din fibră. Ca rezultat al fluctuatiilor temperaturii, sau a lungimii de undă a sursei, elipticitatea luminii receptionate fluctuează aleator în timp. Dacă ne interesează numai transmiterea puterii luminii, această aleatorizare a puterii intre două componente polarizate nu întâmpină dificultăţi, demonstrând că puterea totală este colectată.
În multe domenii in care a pătruns fibra optică, comunicatia optică coerentă, senzori optici cu tehnici interferometrice, fibra este folosită la transmiterea amplitudinii complexe a polarizării specifice. Pentru aceste aplicaţii, fibra ce işi menţine polarizarea este necesară. Pentru a realiza o astfel de fibră, simetria conventională a fibrei trebuie modificată, prin utilizarea fibrelor cu sectiunea in formă de cruce eliptică. Aceasta elimină degenerarea polarizării, de exemplu face constantele de propagate a două polarizări diferite. Eficienţa cuplajului este redusă ca rezultat al introducerii defazajului.
2.2. Fibre cu indice gradat
Gradarea indicelui este o metodă ingenioasă pentru a reduce împrăştierea frecvenţelor cauzată de vitezele de grup diferite ale modurilor unei fibre multimod. Miezul unei fibre cu indice gradat are un indice de refracţie gradat, mare în centru şi descrescând treptat până la valoarea cea mai mică în înve1iş. Viteza de fază al luminii este minimă în centru şi creşte treptat cu creşterea razei. Razele modului eel mai axial străbat o scurtă distantă la cea mai mica viteză de fază. Razele celui mai oblic mod, la un unghi mare şi parcurgând o distanţă lungă, cu precădere in medii unde viteza de fază este mare, merg în zig-zag. Aceste diferenţe în distante sunt compensate prin diferenţe opuse pentru vitezele de fază. Ca o consecintă, diferenţele în vitezele de grup şi timpii de parcurs ar trebui să se reducă. În acest capitol voi examina propagarea luminii în fibrele cu indice gradat.
Indicele de refracţie al mediului este o functie n(r) de poziţia radială r, iar indicele de refracţie al învelişului este o constantă n2. Valoarea cea mai mare se obţine când raza miezului este r = a, n(a) = n2, aşa cum este ilustrat figura2.13,
Un profil al indicelui de refracţie versatil este:
unde: 
p se numeşte parametru al profilului gradului şi determină pasul profilului. Această funcţie “cade” de la n1 la r =0, pâna la n2 la r = a.
Pentru p = 1, n2(r) este liniar şi pentru p = 2 este cuadratic. La p ŕ ∞, n2(r) aproximează o funcţie treaptă, cum este ilustrat n figura 2.15. Fibra cu salt de indiee este un caz special de fibra cu index gradat cu p = ∞.
2.2.1. Raze ghidate
Transmisia razei de lumină într-un mediu cu indice gradat cu un profil al indexului parabolic, studiul ei este util în următoarele paragrafe.
Razele în plane meridionale urmăresc traiectorii planare oseilatorii, unde razele divergente urmează traieetorii helicoidale, punctele de intoarcere formând suprafeţe eilindrice cum este ilustrat in figura 2.16. Razele sunt limitate de miez, neajungând la înveliş.
Fig. 2.14 Geometria şi profilul indicelui de refracţie a unei fibre cu indice gradat
Fig. 2.16 Raze ghidate în miezul unei fibre cu indice gradat
2.2.2. Unde ghidate
Modurile unei fibre cu indice gradat pot fi determinate scriind ecuatiile Helmholtz cu n = n(r), rezolvându-le pentru distributiile spaţia1e ale câmpurilor componente şi utilizând ecuaţiile Maxwell şi condiţiile de graniţă pentru a obţine ecuaţia caracteristică cum a fost făcută în cazul unui indice treaptă. Această procedură este în general dificila.
Voi utiliza o aproximare grafică a distribuţiei câmpului, ca o undă cvasi-planară parcurgând miezul, aproximativ de-a lungul traiectoriei razei optice. O undă cvasi-plană este o undă identică cu o undă plană, dar îşi schimba direcţia şi amplitudinea uşor in timpul propagării. Această aproximare permite mentinerea simplicităţii razei optice, dar retine faza asociată undei, deci putem utiliza conditia de determinare a constantelor de propagare pentru modurile ghidului. Această aproximare tehnica, numită WKB (Wentzel - Kramers -Brillouin), este aplicabilă numai pentru fibrele cu un mare număr de moduri (parametru V mare).
Unde cvasi-plane
Considerând o solutie a ecuatiei Helmholtz (4) in forma undei cvasi-plane:
U(r) = a(r) exp(—jk0S(r)), (26)
unde a(r) şi S(r) sunt functii reale de poziţie ce variază uşor în comparaţie cu lungimea de undă λ0 = 2π/k0. Se ştie că S(r) satisface ecuatia:
şi că merge in direcţia gradientului S. Dacă luăm:
k0 S(r) = k0 s(r) + 1Φ + Bz,
unde s(r) este o functie ce variază uşor faţă de r, ecuatia devine:
(27)
Frecvenţa locală spaţială a undei în directie radială este o derivată parţială a fazei k0S(r), faţă de r,
(28)
deci (26) devine:
(29)
(30)
Definind kΦ = 1/r şi kz = β, gasim că (30) dă:
kr 2+kΦ 2+kz 2=n2(r)k02
Unda cvasi-plana are un vector undă local k cât magnitudinea n(r)k02 şi coordonatele componentei cilindrice (kr, kΦ, kz). Când n(r) şi k0 sunt functii de r, kr este in general dependent de poziţie. Directia lui k se schimbă încet cu r (vezi figura 2.17), urmând o traiectorie similară cu cea a razei din figura 2.16.
Fig. 2.18 (a) kr2 e pozitivă în regiunea r1 <r <R1;
(b) kr e pozitivă în regiunea r1 <r < a.
Pentru a determina regiunea miezului in care unda este limitată, trebuie sa determinăm valorile lui r pentru care kr este real, adica kr2 > 0. Pentru 1 şi β daţi, desenăm
ca funcţie de r. Termenul n2(r)k02 este desenat prima data ca functie de r (curba subtire continua din figura 18). Termenul 12/r2 este dedus scriind curba cu salturi. Valoarea lui β2 este marcată prin linia continua verticala subtire. kr2 este reprezentată prin diferenţa dintre linia cu salturi şi linia continuă subţire. Regiunea unde kr2 este pozitiv sau negativ este indicata prin semnale +, respectiv -, kr este real in regiunea r1 <r <R1, unde:
(32)
Unda este limitată într-un cilindru cu razele r1 şi R1 asemeni traiectoriei razei elicoidale arătate în figura 2.16.
Aceste rezultate sunt aplicabile in fibra cu salt de indice in care n(r) = n1 pentru r < a şi n(r) = n2 pentru r> a. În acest caz, unda cvasi-plană este ghidată în miez prin reflecţii începând de la frontiera miez-înveliş la r = a. Aşa dupa cum se vede din figura 2.18.b, regiunea de limitare este r1 <r < a, unde:
Unda se întoarce înapoi elicoidal ca raza ilustrată în figura 2.15. În înveliş (r > a) şi in apropiere de centrul miezului (r < r1), kr2 este negativ, deci kr este imaginar, iar unda scade proportional. Ţinem cont că r1 depinde de β. Pentru β mare, r1 este mare, de exemplu unda este limitată intr-un cilindru subtire in apropiere de marginea miezului.
Fig. 2.19 Constantele de propagare şi delimitarea regiunilor corespunzătoare modurilor fibrei. Fiecare curbă corespunde unui indice 1.
2.3. Modurile
Modurile fibrei se determină prin impunerea conditiei de consistenta proprie, prm care unda se reproduce singură dupa o perioadă helicoidală parcursă între r1 şi R1 şi înapoi. Lungimea căii azimutale corespunzătoare unui unghi de 2π, de exemplu kΦ2πr = 2πl; l = 0, ±1, … Această condiţie este satisfăcută când kΦ = 1/r. În plus lungimea căii radicale trebuie sa corespundă unei rotaţii de fază cu un multiplu întreg de 2π.
,
m = 1,2, …, M1
Această conditie, care este analogă conditiei de consistenţă proprie pentru ghidul de undă planar, demonstrează că ecuaţia caracteristică oferă constantele de propagare βlm ale modurilor.
Aceste valori sunt marcate schematic în figura 2.19; modul m = 1 are cea mai mare valoare a lui β, şi m = M1 are cea mai mică valoare.
2.3.1. Numărul de moduri
Numărul total de moduri poate fi determinate adăugând
numărul de moduri M1 pentru l = 0, 1, … , lmax. Voi utiliza o procedură diferită de abordare a problemei. Întâi voi determina numărul de moduri q β cu constante de propagare mai mari decât valoarea data β. Pentru fiecare l, numărul de moduri M1(β) cu constante de propagare mai mari decât β este un număr multiplu de 2π:
(34)
r1 şi R1 sunt razele corespunzătoare constantei de propagare data de (31). Se observă clar că r1 şi R1 depind de β.
Numărul total de moduri cu constante de propagare mai mari decât β este:
unde lmax(β) este valoarea maximă a lui β care produce un mod limitat cu constanta de propagare mai mare decât β. Numărul total de moduri M este qβ pentru β= n2k0. Factonul lui 4 in (35) ţine seama de două posibile polarizări şi de două posibile polarităţi ale unghiului Φ, corespunzătoare traiectoriilor helicoidale pozitivă sau negativă pentru fiecare mod (1, m). Dacă numărul de moduri este suficient de mare putem readuna suma din (35) sub o integrală:
(36)
Pentru fibrele cu o putere mai mică a profilului indicelui de refracţie, substitui (24) în (34) şi rezultatul în (36) şi evaluăm integrala pentru a obţine:
(37)
unde 
(38)
Aici, Δ = (n1 - n2)/n1 şi V = 2π(a/λ0)NA este o fibră parametru V. Când q β ≈ M la β = n2k0, M este într-adevăr numărul total de moduri.
Pentru fibră cu salt de indice (p = ∞) :
şi
,
V=2π(a/λ0)NA
Expresia lui M este aproape aceeaşi ca M = 4V2/π2 în (41)
care a fost obţinută în partea I a introducerii.
2.4. Constante de propagare ~i viteze
2.4.1. Constante de propapare
Constanta de propagare βq a modului q este obtinută inversând
,
unde q=1,2, ... , M.
(41)
unde indicele qβ a fost înlocuit de βq
Când Δ << 1, aproximarea (1 +δ)1/2 = 1+ δ/2 , poate fi aplicată lui (41) rezultând:
(42)
(constanta de propagare q = 1, 2, … ,M)
Constanta de propagare βq descreşte de la n1k1 (la q = 1) pâna la n2k0 (la q = M), cum este ilustrat in figura 2.20.
În fibra cu salt de indice (p = ∞ ):
Expresia este
identică cu (22), dacă indexul q = 1, 2, … ,M este
înlocuit
cu (1 +2m)2, unde l = 0, 1, … ,(M-1)/2 şi m= 1,2, … ,
.
2.4.2. Viteze de grup
Pentru a determina viteza de grup Vq = dω/dβq, scriu βq ca funcţie de ω, substituind (38) în (42), substituind n1k0 = ω/c1 în rezultat şi evaluând Vq = (dβq/ dω)-1. Cu aproximarea (1 + δ)-1 = 1 - δ, când δ << 1, presupunând că c1 şi Δ sunt independente de ω, obţinem:
(44)
Fig. 2.20 Dependenţa constantei de propagare de indicele modului q.
Pentru fibra cu salt de indice (p = ∞)
Vq = c1(l -q/M) (45)
Viteza de grup variază de la c1 la c1(1 - Δ). Aceasta reproduce rezultatul obţinut în (23).
Profilul de index optimal
Ecuatia (44) arată că parametrul profil p =2 , produce o viteză de grup Vq = c1 pentru toţi q, încât toate modurile aceeaşi viteza de grup c1. Avantajul fibrelor cu indice gradat pentru transmisiunea multimod este aparent.
Pentru a determina cu o mai bună acurateţe viteza de grup, repet derivata lui Vq din (41) luând trei termeni din dezvoltarea Taylor:
Pentru p = 2, rezultatul este:
(46)
(viteza de grup (p = 2), q = 1,... ,M)
Vitezele de grup variază de la c1 la q = 1 la aproximativ c1(1 – Δ2/2) la q = M. În comparaţie cu fibra cu indice gradat, pentru care viteza de grup este în scara c1 şi c1(l - Δ), diferenţa de viteză fractională pentru fibra gradată parabolic este Δ2/2 functie de Δ pentru fibra cu index gradat reduce viteza de grup cu factorul Δ/2, realizând o egalare a vitezelor modurilor.
Fig. 2.21 Vitezele de grup ale modurilor ale unei fibre cu salt de indice şi ale unei fibre cu indice gradat.
Analizând formula (46), bazată pe un număr de aproximaţii, factorul adăugat este o estimare primară; nu este prea potrivit în practică.
Pentru p = 2 numărul de moduri dat de (38) devine:
,
Comparând aceasta cu (40) văd că numărul de moduri într-o fibră cu indice gradat optim este aproximativ jumătate din numărul de moduri într-o fibră cu salt de indice la aceiaşi parametri n1, n2 şi a.
2.5. Atenuarea şi dispersia
Atenuarea şi dispersia lumitează performantele fibrei optice la un canal de transmisiuni de date. Atenuarea limitează magnitudinea puterii optice transmise, pe când dispersia limitează rata de transmisie prin fibra, când frecventa datelor variază temporal.
2.5.1.1. Atenuarea
Coeficientul de atenuare
Puterea produsă de lumina ce traversează o fibră optică descreşte exponential cu distanţa, ca rezultat al difuziei şi absorţiei. Coeficientul de atenuare este definit în unităţi de dB/Km,
unde T = P(L) / P(0) este ratia de transmisie a puterii incidente pentru o fibra de lungimea L. Relatia între α şi T este ilustrata in figura 22, pentru L = 1 Km. O atenuare de 3 dB corespunde unui T = 0,5 pe când 10dB este echivalent unui T = 0,1 şi 20 dB corespund unui T = 0,01 ş.a.m.d.
Fig. 2.22 Relatia între transmitanţa T şi coeficientul de atenuare α [dB/km].
Pentru o distanţă de propagare de z km, pierderea este α decibe1i şi raţia puterii transmise este:
,
α în
dB/km
Coeficientul de atenuare este măsurat în km-1, în loc de dB/km:
unde α = 0,23 α. α este luat în dB/km, deci se aplică (50).
2.5.1.2. Absorţia
Coeficientul de atenuare al SiO2 este puternic dependent de lungimea de undă, cum este ilustrat în figura223. Acest material are două benzi de absorbtie puternice — o bandă de absorbtie infraroşie rezultată din tranzitiile de vibratie şi o bandă de absorbtie în ultraviolet duce la tranzitiile electronice şi moleculare. Mai exista o fereastra limitată de părţi ale acestei bande în care este necesar a nu exista absorbtie intrinsecä. Fereastra ocupa regiunea de lângă infraroşii.
2.5.1.3. Difuzia
Difuzia Rayleigh este un alt efect intrinsec care contribuie la atenuarea luminii in sticla. Variatiile locale aleatorizate ale poziţiilor moleculelor în sticlă creează neomogenităţii aleatoare ale indicelui de refractie, care joacă rolul unor mici centre de difuzie. Amplitudinea câmpului de difuzie este proporţională cu ω2 . Intensitatea difuziei este proporţională cu ω4 sau cu 1/λ04 deci lungimile de undă mari. De exemplu sunt difuzate mai mult decât lungimile de undă mari. De exemplu lumina albastră este impraştiată mai mult decât cea roşie.
Un efect similar este difuzia luminii solare de moleculele atmosferice mici, de aceea cerul apare albastru. Atenuarea cauzată de difuzia Rayleigh descreşte cu lungimea de unda ca 1/λ04, o relatie cunoscută ca legea inversă Rayleigh a puterii 1/4.
În banda vizibilă. Difuzia Rayleigh este mai semnificativă decât părţi ale benzii de absorbtie in ultraviolet, dar devine neglijabila în comparaţie cu absorţia infraroşie pentru lungimi de undă mai mari decât 1,6 μm.
Fereastra transparentă a sticlei siliconice este limitată de difuzia Rayleigh pentru lungimi de unda scurte şi de absorbtia infraroşie a lungimii de undă mari.
Fig. 2.23 Dependenţa coeficientului de atenuare α al sticlei
siliconice de lungimea de undă λ0.
Efecte extrinseci
În plus faţă de efectele intrinseci, pe banda de absorbtie extrinsecă cauzată de impurităţi, vibratiile OH asociindu-se cu vaporii de apă dizolvaţi în sticlă şi impurităţile ionilor metalici.
Progresele recente în tehnologia fabricării fibrelor din sticlă a făcut posibilă reaşezarea celor mai multe impunităţi metalice. Dar impurităţile OH sunt greu de eliminat. Lungimile de undă la care sunt utilizate fibrele de sticla în comunicaţiile optice sunt selectate pentru a evita aceste benzi de absorbţie.
Fig. 2.24 Scara coeficientului de atenuare al sticlei siliconice a fibrelor monomod şi multimod.
Difuzia luminii are pierderi mai accentuate când sunt adăugaţi dopanţi cu scopul gradării indicelui de exemplu.
Coeficientul de atenuare al luminii ghidate în fibrele de sticlă depinde de absoţia şi difuzia din miez şi înveliş. Când fiecare mod are o adâncime diferită de penetrare în înveliş, razele parcurg diferite distanţe effective, coeficientul de atenuare fiind dependent de mod. Este în general mare pentru moduri de ordin înalt. Fibrele monomod au de obicei coeficienţi de atenuare mai mici decât fibrele multimod (figura 2.24). Pierderile sunt introduse de variaţiile aleatoare mici în geometria fibrelor şi în benzi.
2.5.2 Dispersia
Când un impuls scurt de lumină parcurge o fibră optică, puterea este “dispersată” în timp, deci impulsul se împrăştie într-un interval de timp mare. În fibrele optice sunt patru surse de dispersie modală, materială, de ghid de undă şi neliniară.
Fig 2.25 Extinderea impulsului cauzată de dispersia modală.
2.5.2.1. Dispersia modală
Dispersia modală în fibrele multimode ca rezultat al diferenţelor de grup ale modurilor. Un impuls de lumină intrând într-o fibra M-mod la z = 0 se imprăştie in M pulsuri cu întârzieri diferite, crescând cu z. Pentru o fibră cu lungimea L, intârzierile de timp intâlnite de diferite moduri sunt
,
q = 1, … , M ,
unde Vq este viteza de grup a modului q. Dacă Vmin şi Vmax sunt cele mai mici, respectiv cele mai mari viteze de grup, impulsul recepţionat se imprăştie in timpul
Când modurile nu sunt excitate egal, forma impulsului recepţionat este un profil neted, cum este ilustrat în figura 2.25. O estimare a impulsului rms (a lărgimii lui) este:
Lăţimea reprezintă răspunsul în timp al fibrei.
Într-o fibră cu salt de indice cu un număr mare de noduri,
Vmin=c1(1-Δ) şi Vmax=c1.
Când (1 – Δ)-1 = 1 + Δ, răspunsul în timp este
(51)
de exemplu, o fracţie Δ/2 a întârzierii L/c1.
Dispersia modală este mai mică în fibrele cu indice gradat, decât în fibrele cu salt de indice când vitezele de grup sunt egalizate şi diferenţele între diferite intârzieri în timp ale modurilor sunt mici. A fost arătat în secţiunea 2.4.2 şi în figura,2.21. că o fibra cu indice gradat cu un număr mare de moduri şi cu un profil al indexului optimal, Vmax = c1 şi Vmin = c1(1 – Δ2/2).
Răspunsul în timp este:
Care este un factor de Δ/2 ori mai mic decât într-o fibră cu salt de indice.
Impulsul rezultat din dispersia modala este proportional cu lungimea fibrei L in ambele feluri de fibre. De aceasta diferenţă nu se tine neapărat cont când lungimea fibrei este mai mare decât o lungime critica, din cauza modului de cuplare.
Cuplajul apărut intre moduri cu aproximativ aceeaşi constantă de propagare este un rezultat al micilor imperfecţiuni în fibra. (iregularităţi aleatoare ale suprafeţei fibrei, sau neomogenităţi ale indicelui de refractie), care permit puterii optice sä fie schimbată intre moduri. În condiţii sigure, răspunsul în timp al fibrelor in modul cuplat este proportional cu L, pentru L mic şi cu L1/2 lungimea critică este depăşită, impulsul lărgindu-se la rate mici.
2.5.2.2. Dispersia materială
Sticla este un mediu dispersiv, de exemplu, indicele de refractie este functie de lungimea de undä. Când frecventa undelor, dintr-un spectru de componente de diferite lungimi de unda, fiecare având o viteza de grup diferită, se impraştie larg. Latimea temporală a unui impuls cu latimea spectrală σλ (nm), dupä parcurgerea unei distante L, este
,
de unde
,
unde (53)
(54)
este coeficientul de dispersie. Răspunsul in timp creşte linear cu distanta L. Frecvent, L este măsurat în km, στ in ps şi σλ în nm deci D1 se măsoară în ps / km*nm. Tipul dispersiei se numeşte dispersie de material (cea opusă dispersiei modale).
Dependenţa lungimii de unda de coeficientul de dispersie D1 pentru sticla siliconica este aratată in figura 2.26. La lungimi de unda mai mici decât 1,3 μm, coeficientul de dispersie este negativ, deci pachetele de undă de lungimi de undă mari parcurg mai repede decât cele cu lungimi de undă mici, fibra. La lungimea de undă λo = 0,87 μm. Dλ este aproximativ -80 ps/km nm; la λ0 = 1,55 μm Dλ=17 ps/km nm.
Fig. 2.26 Coeficientul de dispersie Dλ al sticlei siliconice funcţie de lungimea de undă λ0.
2.5.2.3. Dispersia ghidului de undă
Vitezele de grup depind de lungimile de undă chiar dacă dispersiile de material sunt neglijabile. Această dependenţă, cunoscută ca dispersia ghidului de undă, rezultă din dependenţa distribuţiei de câmp din fibră de raportul dintre raza miezului şi lungimea de undă (a/λ0). Dacă fracţia este schimbata, modificând λ0, părţile relative ale puterii optice în miez şi înveliş sunt modificate. Când vitezele de fază în miez şi înveliş sunt diferite, vitezele de grup ale modurilor sunt modificate. Dispersia ghidului de undă este importantă in fibrele monomod, unde dispersia modala nu apare, şi in lungimile de undă pentru care dispersiile de material sunt mici.
După cum s-a arătat în secţiunea 2.4 viteza de grup
şi constanta de propagare β sunt determinate din ecuaţia caracteristică, care este expresia lui V,
absenţa dispersia materialului, V este direct proporţională cu
(55)
Lărgimea frecvenţei asociată cu o
sursă cu lăţimea spectrală σλ este dată de întârzierea în timp L/v
prin
.
(56)
unde
(57)
este coeficientul de dispersie al ghidului de undă.
(58)
Viteza de grup este invers proporţională cu dβ/dV şi coeficientul de dispersie este proporţional cu V2d2β/dV2. Dependenţa de β a lui Veste arătată în figura 2.12 pentru modul fundamental LP01. Când β variză nelinear cu coeficientul de dispersie DW al ghidului de undă este funcţie de V, fiind totodată funcţie de lungimea de undă. Dependenţa lui Dw de λ0 poate fi controlată modificând raza miezului sau profilul indexului gradat pentru fibrele cu index gradat.
2.5.2.3.1. Materiale combinate şi dispersia ghidului de undă
Efectele combinate ale dispersiei de material şi ale dispersiei ghidului de undă(referindu-se la dispersia cromatică), pot fi determinate incluzând dependenţa lungimii de unde de indicele de refracţie, n1 şi n2, de NA, când determin dβ/dω din ecuaţia caracteristică. În general mai mică decât decât dispersia de material, dispersia ghidului de undă mută lungimea de undă la valoarea la care dispersia totală cromatică este minimă.
Când dispersia cromatică limiteză performaţele fibrelor monomod, multe fibre avansate reduc acest efect utilizând miezuri cu index gradat cu profilul indexului de refractie ales astfel incat lungimea de unda a ghidului de unda, care are dispersii de material, sa fie schimbata la o alta lungime de unda la care lucreaza fibra.
Fibrele cu dispersie variabilă au avut succes un miez cu indice de refractie linear şi reducând raza miezului, cum este ilustrat in figura2.27. Aceasta tehnică poate fi folosita pentru a schimba lungimea de undă a dispersiei zero cromatice de la 1,33 μm la 1,55 μm, când lucrăm cu fibra la atenuarea cea mai mică. Oricum, procesul gradării indexului introduce pierderi când se folosesc dopanti. Altă gradare a profilului a fost studiată pentru cazul în care dispersia cromatica este cuprinsă între două lungimi de undă şi este redusă pentru lungimile de undă dintre ele.
Aceste fibre, numite cu dispersie aplatizată, au fost realizate utilizând o gradare cuadruplă, ca în figura 2.27.b.
2.5.2.3.2. Materiale combinate şi dispersia modală
Efectele dispersiei de material asupra limitării frecvenţei în fibrele multimod poate fi determinată intorcându-ne la ecuatiile originale pentru constantele de propagare βq ale modurilor şi determinând vitezele de grup Vq = (dβq/dω)-1, cu n1 şi n2 fiind funcţii de ω.
Fig. 2.27 Profilul indicelui de refractiei şi dependenţa lungimii de undă de coeficientul de dispersie al materialului şi coeficienţii de dispersie ai ghidului de undă pentru (a) fibra cu dispersie mutată şi (b) fibra cu dispersie gradată.
Considerând, de exemplu, constantele de propagare ale unei fibre cu indice gradat cu un număr mare de moduri, date de (42) şi (38), n1 şi n2 sunt dependente de ω, presupunem că fracţia Δ = (n1 - n2)/n1 este aproximativ independentă de ω. Utilizând această aproximare şi evaluând Vq = = (dβq/dω)-1, obţinem:
(59)
unde 
este
indexul de grup al miezului.
Sub această aproximare, expresia de mai sus pentru Vq rămâne la fel, exceptând indicele de refracţie n1 înlocuit de indexul de grup N1. Pentru o fibră cu salt de indice (p = ∞), vitezele de grup ale modurilor variază de la c0/N1 la (c0/N1)(1 - Δ), încât raspunsul în timp devine:
Se compară cu formula (51) când nu există dispersie de material.
2.5.2.4. Dispersia nelineară
Apare un alt efect al dispersiei când intensitatea luminii în miez este sufieient de mare, eând indieele de refraţie devine dependent de intensitate şi materialul are o comportare nelineară. Părţile cu intensitate mare ale unui impuls optic tree prin diferite sehimbări ale fazei, începând cu părţile eu intensitate joasă, încât frecvenţa este sehimbată de diferite denivelări.
Din eauza dispersiei de material, vitezele de grup sunt modificate, iar forma frecvenţei este redusă.
În condiţii sigure, dispersia nelineară poate eompensa dispersia de material, deci impulsul se propagă fără reducerea profilului temporal. Ghidul de undă este cunoscut ea undă solitară, sau ea soliton.
2.6. Propagarea impulsului
Propagarea impulsului în fibrele optice este dictată de atenuare şi de câteva tipuri de dispersie. Următoarele sunt o reeapitulare a aeestor efeete, ignorând dispersia nelineară. Un impuls optic de putere şi durată scurtă τ0, unde p(t) este o funcţie care are durata şi aria unitate, este transmisă prirtr-o fibră multimod cu lungimea L. Puterea optică recepţionată poate fi scrisă sub forrna unei sume:
(61)
unde M este impulsul de moduri, qq se referă la modul q, αq este coeficientul de atenuare (dB/km), τq = L/q este întârzierea, Vq este viteza de grup şi τq > 0 este laţimea impulsutui asociat modului q.
În expresia (61) am presupus implicit că puterea optică incidentă este distribuită egal pentru modurile M ale fibrei. S-a mai presupus că forma impulsului p(t) nu este redusă; este numai întârziat de timpul τq şi limitat cu lăţimea σq ca rezultat at propagării. Un impuls initial cu profit gaussian este limitat fără a i se altera natura gaussiană.
Impulsul recepţionat este compus din M impulsuri cu lăţimea σq centrate pe τq, cum este ilustrat în figura(2.28). Impulsul compus are o lăţime generală σq care reprezintă răspunsul în timp al fibrei, general.
Sunt cunoscute două tipuri primare de dispersie, intramodală şi intermodală. Intermodală, sau simplu modal, dispersia este distorsiunea intârziată cauzata de dispariţia de-a lungul intârzierii temporale τq a modurilor. Diferenta de timp 1/2(τmax – τmin) între cea mai lungă şi cea mai scurtă intârziere constituie dispersia modală. Este data de (51) şi (52) pentru fibrele cu indice gradat, respectiv pentru fibrele cu salt de indice.
Dispersia de material are câteva efecte asupra dispersiei modale când afectează intârzierea temporală. De exemphu (60) dă dispersia modală a unei fibre multimod cu dispersie de material. Dispersia modală este direct proporţională cu lungimea fibrei L, excepţie fibrele lungi, în care cuplajul modurilor joacă un rol, când devine proportional cu L1/2.
Dispersia intramodală este limitarea impulsului asociată cu moduri individuale. Este cauzată de o combinaţie de dispersie de material şi dispersia ghidului de undă, rezultând din latimea finită a spectrului impulsului optic initial. Laţimea q este data:
σq2 = τ02 + (DqσλL)2
unde Dq este coeficientul de dispersie reprezentând defecte ale dispersiei de material şi a ghidului de undă. Dispersia de material este mai semnificativă pentru o laţime iniţială scurtă τ0, dă.:
σq = DqσλL (63)
Figura 2.29, este o ilustrare schematică în care se compara profilurile impulsurilor din diferite tipuri de fibre. În fibrele cu salt de indice multimod, dispersia modala 1/2(τmax – τmin) este de obicei mai mare decât de dispersia de material, sau de ghid de undă σq, deci dispersia intermodală domină şi στ = 1/2(τmax – τmin). În fibrele cu indice gradat multimod, 1/2(τmax – τmin) poate fi comparată cu σq, deci lăţimea impulsului nu ţine cont de efectele dispersiei. În fibrele multimod nu există dispersie modală şi transmisia impulsului. Dispersia
cea mai mică este atinsă într-o fibră monomod operând la lungimea de undă pentru care dispersiile combinate de material şi de ghid de undă dispar.
Fig. 2.29 Propagarea unui impuls scurt optic după transmisia prin diferite tipuri de fibră. Laţimea impulsului transmis este data de dispersia modală în fibrele multimod. În fibrele monomod laţimea
impulsului este determinată de dispersia de material şi dispersia ghidului de undă.
2.7. Parametrii fibrelor optice
2.7.1. Condiţii de injectare a luminii in fibra optică
Injecţia luminii în fibra optică este esentiala pentru distribuţia puterii, căci puterea optica a impulsului injectat intr-o fibra multimod se distribuie astfel: o parte a luminii este injectată în modul fundamental, în timp ce partea rămasă este reflectată. Modurile fibrelor optice monomod sau multimod vor ghida puterea optica de maniere diferite după conditiile de excitatie.
Măsurarea parametrilor de transmisiune este de dorit să se facă in timpul stării de echilibru. Una din posibilităţi este utilizarea unei fibre amorsa de o lungime suficienta, in care starea de echilibru este deja atinsă. În timpul unei excitări totale a unei fibre monomod, modurile de fuga şi modurile de inve1iş sunt generate, dar dispar între timp după câtiva centimetri, daca o manta de indice de refractie superior celui al sticlei este utilizată. Montarea are efectul unui extractor de moduri.
2.7.2. Atenuarea
Atenuarea fibrei optice este un parametru important pentru efectuarea proiectării instalării cablurilor optice. Ea se datorează în principal fenomenelor fizice: absorbţie şi difuzie.
În timp ce fenomenul absorbtiei nu se produce decât la lungimi de undă precise, numite benzi de absorbtie (λ = 1390 absorbtia OH), pierderile luminoase prin difuzie există pentru toate lungimile de undă. Pentru că difuzia rezultă din fluctuatiile densitatii (lipsa de omogenitate) in fibra optică şi cum aceasta are dimensiuni adesea mai mici decât lungimea de unda a luminii, putem apela la “legea de difuzie a lui Rayleigh” — dacă lungimea de undă λ creşte, pierderile prin difuzie α scad cu puterea a patra a lungimii de undă λ(α ~ 1/λ4).
Atenuarea in fibrele optice depinde de efectele urmatoare:
a) de material;
b) geometrice;
c) de joncţiune;
d) de înveliş (n2) şi manta.
Curba 1 — reprezintă absorbţia luminii spre banda de ultraviolet;
Curba 2 — absorbţia luminii către banda de infraroşu;
Curba 3 — absorbţia datorită difuziei Rayleigh;
Curba 4 — absorbţia datorită impurităţilor în ioni OH şi a ionilor metalici.
Valorile 0,85; 1,3; 1,55 se numesc ferestre pentru transmisia luminii. Daca se observa propagarea lummii printr-o fibră optică în stare de echilibru se poate constata că puterea luminii P descreşte exponenţial cu lungimea L a fibrei optice.
P(L) = P(0) 10-a/10
P(0) este egală cu puterea luminii injectate in fibra optică; P(L) este puterea luminii care se calculează la lungimea Lsinα este coeficientul de atenuare, care este o măsură pentru atenuarea pe unitatea de lungime. Atenuarea unei fibre optice de lungime L şi cu un coeficient de atenuare α este:
,
unde α (dB(km); L(km)).
Metoda de măsură prin retrodifuziune furnizează informaţii în plus în legatură cu atenuarea de linie.
Fig 2.31. Diagrama bloc a unui montaj pentru măsurarea fibrei optice
prin retrodifuzie
Acest procedeu de măsură se bazează pe difuzia Rayleigh. În timp ce majoritatea puterii optice se propagă direct până la capătul fibrei, o mica cantitate este retrodifuzată spre emiţător. Această putere luminoasă astfel retrodifuzată suferă la rândul ei o atenuare pe traseul de intoarcere. Restul de lumină aflat la intrarea în fibră este captat prin intermediul unui derivator (oglindă semitransparentă) şi masurat. Poate fi intocmită o diagramă ce reprezintă puterea optică retrodifuzată în funcţie de timpul de propagare când coeficientul de atenuare şi factorul de retrodifuziune sunt constante de-a lungul fibrei.
Fig. 2.32. 1 - retrodifuziune la intrarea fibrei optice;
2 - retrodifuziune la locul unei imbinări;
3 - retrodifuziune la ieşirea fibrei optice.
2.7.3. Banda de trecere
În practică, gradul dintre latimea benzii şi lungimea caracteristică se numeşte bandă de trecere. În timp ce atenuarea descrie pierderile optice in linie ale fibrei optice banda de trecere reprezintă o măsură a fenomenului de dispersie.
2.7.4. Dispersia cromatică
Suma celor două timpuri de dispersie (dispersia materialului şi dispersia ghidului de undă)este numită dispersie cromatică.
M(λ) = M0(λ) + M1(λ)
Dispersia materialului M0 este o măsură a variaţei indicelui de grup ng pe diferite lungimi de undă. Este egală cu derivata indicelui de grup în raport cu lungimea de undă:
(ps/nm km)
unde
pentru
că impusurile luminoase se propagă
în fibră cu o viteză de
grup
.
2.7.5. Lungimea de undă de tăiere
Ea desemnează cea mai joasă lungime de undă de funcţionare de la care se propagă doar modul fundamental. Fibra optica este multimodală pentru lungimi de undă inferioare lui λc.
2.7.6. Diametrul câmpului de mod
Depinde de lungimea de undă, el se 1ungeşte (măreşte) la lungimi de undă crescătoare. Raza câmpului de mod Wo raportată la raza miezului este o funcţie de frecvenţă normalizată, care depinde de lungimea de undă λ şi de apertura numerică AN. Pentru fibra monomod având o frecvenţă normalizată, cuprinsă între 1,6 <V< 2,4 există o formulă care descrie cu o bună aproximare relaţia între raza câmpului Wo, raza miezului şi această frecvenţă normalizată:
W0
=
.